题目内容

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，长轴长为8，点P为直线l：x+y=2上任意一点，且|PF1|+|PF2|的最小值为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m与椭圆C交于A，B两点，已知点Q（2，3），求证：直线AQ、BQ关于直线x=2对称．

分析 （1）（c，0）关于直线l：x+y=2的对称点的坐标为（2，2-c），|PF1|+|PF2|的最小值为4，即可求椭圆C的标准方程；
（2）直线AQ、BQ关于直线x=2对称，证明kAQ+kBQ=0即可．

解答 解：（1）由题意，2a=8，∴a=4，
（c，0）关于直线l：x+y=2的对称点的坐标为（2，2-c），
∵|PF1|+|PF2|的最小值为4，
∴$\sqrt{（2+c）^{2}+（2-c）^{2}}$=4，
∴c=2，
∴b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）证明：直线AQ、BQ关于直线x=2对称，证明kAQ+kBQ=0即可．
直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m与椭圆C联立，可得x2+mx+m2-12=0，
∴x=$\frac{-m±\sqrt{48-3{m}^{2}}}{2}$，y=$\frac{3m±\sqrt{48-3{m}^{2}}}{4}$，
∴（3m+$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-12）（-2m-2$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-8）+（3m-$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-12）（-2m+2$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-8）
=-2（3m-12）（2m+8）-4（48-3m2）=0，
∴kAQ+kBQ=0，
∴直线AQ、BQ关于直线x=2对称．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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