Question

6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜$\frac{1}{2}$，则不等式f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$可得f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{2}$＜f（1）-$\frac{1}{2}$，最后根据单调性可求出x的取值范围．

解答 解：设F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，则F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
即函数F（x）在R上单调递减
而f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
即f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{2}$＜f（1）-$\frac{1}{2}$，
∴F（x²）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减，
∴x²＞1即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故选：B．

点评 本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．