题目内容

8．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到C1，则绳子的最短长度为3$\sqrt{2}$．

分析 按三种不同方式展开长方体的侧面，计算平面图形中三条线段的长，比较得结论．

解答 解：长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可如图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：
$\sqrt{（1+2）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
$\sqrt{（3+1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
$\sqrt{（3+2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
三者比较得3$\sqrt{2}$是从点A沿表面到C1的最短距离．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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17．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）
A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）
18．“C=5”是“点（2，1）到直线3x+4y+C=0的距离为3”的（　　）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
15．下列不等式结论成立的是（　　）
A．a+b＞c+d⇒a＞c且b＞dB．ac2＞bc2⇒a＞b
C．$\frac{c}{a}$＞$\frac{b}{d}$⇒ab＜cdD．$\sqrt{a}$＞$\sqrt{b}$?a＞b
3．已知数列{an}前n项和${S_n}={n^2}$．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{bn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）求使不等式（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）≥p$\sqrt{2n+1}$对一切n∈N*均成立的最大实数p的值．
13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，与双曲线${x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}$有相同的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}}$N|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直线l的方程．
（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．
20．如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$．以DE为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C，′B，设F是线段A′C上的动点，满足$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CA′}$．
（Ⅰ）证明：平面FBE⊥平面A′DC；
（Ⅱ）若二面角F-BE-C的大小为45°，求λ的值．
17．在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．8B．10C．12D．14
18．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．
（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望及方差．

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