Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，与双曲线${x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}$有相同的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点F₁的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}}$N|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直线l的方程．
（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由双曲线方程求出椭圆的焦点，结合离心率求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（II）设出过F₁的直线l的方程，与椭圆方程联立，由向量的模列式求得直线的斜率得答案；
（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB，然后分当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，与x²+2y²=2联立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用向量垂直与数量积间的关系求得直线方程，已知切线垂直x轴时得答案．

解答 解：（Ⅰ）由双曲线${x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}$，得${c}^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$，∴b²=1，
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F₁（-1，0），设过点F₁（-1，0）的直线l：y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设M（x₁．y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
由于F₂（1，0），|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}}$N|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，
则$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₂-1，y₂），
即有（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²=$\frac{4×26}{9}$，
即有（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）²+（$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$）²=$\frac{104}{9}$，
解得k²=1．检验：△=16k⁴-4（1+2k²）（（2k²-2）=16＞0，
故k=±1．
则直线l的方程为：y=x+1或y=-x-1；
（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB，
①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，
与x²+2y²=2联立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=8（2k²-m²+1）＞0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$，
∴3m²-2k²-2=0，则2k²=3m²-2，
∴对任意k，符合条件的m满足$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}-2≥0}\\{3{m}^{2}-2-{m}^{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴${m}^{2}≥\frac{2}{3}$，即m≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+1}=\frac{2}{3}$，
∴所求的圆为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}$，此时该圆的切线y=kx+m都满足m≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴所求的圆为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}$，
②当切线的斜率不存在时，切线x=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
与椭圆x²+2y²=2的两个交点为（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{2}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
满足OA⊥OB，
综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是压轴题．