Question

17．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． [1，2）
• C． [0，2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
∴函数的f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，
故x=1时，函数取得极小值．
①当k=1时，（k-1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；
②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，
∴x=1在（k-1，k+1）内，
即$\left\{\begin{array}{l}{k-1＜1}\\{k+1＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜2}\\{k＞0}\end{array}\right.$，即0＜k＜2，
此时1＜k＜2，
综上1≤k＜2，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键．