Question

已知函数f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用利用同角三角函数关系和倍角公式对函数解析是化简，进而根据三角函数的性质求得其最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的函数解析式，进而根据三角函数的性质求得函数的最大值和最小值，以及取得最大值时x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=1+1+cos2x-sin2x
=2+

2

(

2

2

cos2x-

2

2

sin2x)=2+

2

(cos

π

4

cos2x-sin

π

4

sin2x)=2+

2

cos(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

）
∴f(x)max=2+

2

，此时cos(2x+

π

4

)=1，2x+

π

4

=2kπ，
即x=-

π

8

+2kπ(k∈z).f(x)min=2-

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数恒等变换的运用．必须对正弦函数，余弦函数，正切余切函数的图象熟记于心，在求周期性及最值，单调性等问题都非常有用．