Question

在圆柱OO₁中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O₁（如图所示），若AB=2，BC=

2

．

（Ⅰ）设平面BEF与⊙O所在平面的交线为l，平面ABE与⊙O₁所在平面的交线为m，证明：l⊥m；
（Ⅱ）将△AEC绕直线AD旋转一周，求所得几何体的体积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由于圆柱的两底面互相平行，结合面面平行的性质定理可得l∥EF，m∥AB，进而由EF⊥CD得到结论；
（II）依题意，所的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥，分别求出两个圆锥的体积，相减可得答案．

解答： 证明：（Ⅰ）由于圆柱的两底面互相平行，AB?⊙O所在平面
∴AB∥⊙O₁所在平面，
同理EF∥⊙O所在平面．…（2分）
又平面BEF与⊙O所在平面的交线为l，
∴l∥EF，
同理由平面ABE与⊙O₁所在平面的交线为m可得：m∥AB．…（4分）
又∵EF⊥CD．
故l⊥m．…（6分）
（Ⅱ）依题意，所的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥，…（8分）
∵AB=2，BC=

2

．
∴两个圆锥的底面半径分别为DE=

2

，DC=2，
高均为AD=

2

．…（10分）
所以其体积V=

1

3

π(4-2)×

2

=

2 2

3

π．…（12分）

点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积公式，空间直线垂直，是立体几何知识的简单综合应用．