Question

设点A，B分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，线段AB的中点M恒在圆x²+y²=8内，则点M的横坐标的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则3x₁-y₁-5=0，3x₂-y₂-13=0，两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，设M（x₀，y₀），则由中点的坐标公式可得3x₀-y₀-4=0，又点M在圆内，结合点与圆的位置关系即可求出点M的横坐标的取值范围．

解答： 解：设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A，B分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，
∴3x₁-y₁-5=0，①
3x₂-y₂-13=0，②
两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
设线段AB的中点M（x₀，y₀），
则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0．
即y₀=3x₀-4．③
又∵点M恒在圆x²+y²=8内，
∴

x

2 0

+

y

2 0

＜8．④
③代入④，得
x02+(3x0-4)2＜8．
解得

2

5

＜x0＜2．
∴点M的横坐标的取值范围（

2

5

，2）．
故答案为：（

2

5

，2）．

点评：本题考查点与圆的位置关系，中点的坐标公式以及直线与圆位置关系等知识的综合应用，属于中档题．