Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面边长AB=1，高BB₁=1，M为底面BC边的中点．
（1）求二面角M-AB₁-B的正切值；
（2）求A₁C中点F到面MAB₁的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作MD⊥AB，连接EM，则∠MED为二面角M-AB₁-B的平面角，由此能求出二面角M-AB₁-B的正切值．
（2）由已知得A₁C∥面MAB₁，从而F到面MAB₁的距离即为C到面MAB₁的距离，由V_C-MAB=V_B-AMC，利用等积法能求出A₁C中点F到面MAB₁的距离．

解答： 解：（1）作MD⊥AB，则DB=

1

4

，
DM=

BM2-DB2

=

3

4

，
作DE⊥AB₁，DE=

AD×1

AB

=

3 4

2

=

3

4 2

，
连接EM，则∠MED为二面角M-AB₁-B的平面角，
∴tan∠MED=

MD

ED

=

6

3

．
（2）连结A₁B，交AB₁于O，连结MO，
∵M是底面BC边的中点，∴MO∥A₁C，
∵MO?面MAB₁，A1C 不包含于面MAB₁，
∴A₁C∥面MAB₁，
∴F到面MAB₁的距离即为C到面MAB₁的距离，设为h，
△AB₁M中，MB₁=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
AB₁=

1+1

=

2

，AM=

3

2

，
∴AM2+MB12=AB12，
由V_C-MAB=V_B-AMC，得

1

3

S△ABM•h=

1

3

×

3

8

×1，
∴h=

5

5

．
即A₁C中点F到面MAB₁的距离为

5

5

．

点评：本题考查二面角M-AB₁-B的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．