Question

15．（1）（用分析法证明）$\sqrt{3}+\sqrt{8}＜2+\sqrt{7}$
（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥9$．

Answer 1

分析 （1）用分析法时行等价转化证明即可，先两边平方，再进行化简；
（2）利用基本不等式即可证明．

解答 证明：（1）要证原不等式成立，
两边平方，只证$2\sqrt{24}＜4\sqrt{7}$
即证24＜28，
∵上式显然成立
∴原不等式成立；
（2）a，b，c均为正实数，a+b+c=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）（a+b+c）=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$）+（$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$）≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号，
故：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥9$．

点评 本题考查了基本不等式的应用和分析法证明不等式，当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法．