Question

10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$（θ为参数，0＜r＜4），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线$θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$与曲线C₁交于N点，与曲线C₂交于O，P两点，且|PN|最大值为2$\sqrt{2}$．
（1）将曲线C₁与曲线C₂化成极坐标方程，并求r的值；
（2）射线θ=α+$\frac{π}{4}$与曲线C₁交于Q点，与曲线C₂交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$（θ为参数，0＜r＜4），利用平方关系可得：普通方程为，利用互化公式可得极坐标方程，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．射线$θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$与曲线C₁交于N点，与曲线C₂交于O，P两点，且|PN|最大值为2$\sqrt{2}$，可得r=2$\sqrt{2}$．
（2）由题意可得：N（r，α），Q$（r，α+\frac{π}{4}）$，P$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}），α）$，M$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}），α+\frac{π}{4}）$．S_{四边形MPNQ}=S_△OPM-S_△ONQ，利用三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$（θ为参数，0＜r＜4），普通方程为x²+y²=r²（0＜r＜4），极坐标方程为C₁：ρ=r（0＜r＜4），
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$（θ为参数），普通方程为（x-2）²+（y-2）²=8，极坐标方程为C₂：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
射线$θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$与曲线C₁交于N点，与曲线C₂交于O，P两点，且|PN|最大值为2$\sqrt{2}$，r=2$\sqrt{2}$．
（2）由题意可得：N（r，α），Q$（r，α+\frac{π}{4}）$，P$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}），α）$，M$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}），α+\frac{π}{4}）$．
∴S_{四边形MPNQ}=S_△OPM-S_△ONQ=$\frac{1}{2}$$4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$×$4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}）$×sin$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}{r}^{2}•sin\frac{π}{4}$=$8\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$cosα-2$\sqrt{2}$
=$4\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）$+4-2$\sqrt{2}$≤4+2$\sqrt{2}$．
当$sin（2α+\frac{π}{4}）$=1时取等号，
∴四边形MPNQ面积的最大值是4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．