Question

16．已知x≥1，求y=x+$\frac{1}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 可设任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而可以判断f（x₁）＞f（x₂），这样便得出该函数在[1，+∞）上单调递增，从而x=1时取最小值，求出该最小值即可．

解答 解：设x₁＞x₂≥1，则：
${y}_{1}-{y}_{2}={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}+1}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[1-\frac{1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}]$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁-x₂＞0，x₁+1≥2，x₂+1＞2，$1-\frac{1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＞0$；
∴y₁＞y₂；
∴该函数在[1，+∞）上单调递增；
∴x=1时，y取最小值$\frac{3}{2}$．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数的单调性的方法和过程，作差比较法的运用，作差之后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁，x₂，根据函数单调性求函数最小值的方法．