Question

11．已知点C的坐标为（-1，2），O位原点．
（1）直线l不过原点且在x轴、y轴上截距相等，点C（-1，2）到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（2）已知点P（x₀，y₀），直线CM⊥MP，且|CM|=2，若|PM|=|PO|，求使|PM|取最小值时P点坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线l不过原点且在x轴、y轴上截距相等，可设直线l的方程为：x+y+C=0，代入点到直线距离公式，求出C值，可得直线l的方程；
（2）有切线的性质可得|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，可得2x₀-4y₀+1=0．动点P在直线2x-4y+1=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，过点O作直线2x-4y+1=0的垂线，垂足为P，垂足坐标即为所求．

解答 解：（1）∵直线l不过原点且在x轴、y轴上截距相等，
故直线l的斜率为-1，
设直线l的方程为：x+y+C=0，
∵C（-1，2）到直线l的距离为2，
∴$\frac{|-1+2+C|}{\sqrt{2}}$=2，
解得：C=-1+2$\sqrt{2}$，或C=-1-2$\sqrt{2}$，
故直线l的方程为：x+y-1+2$\sqrt{2}$=0，或x+y-1-2$\sqrt{2}$=0，
（2）∵|CM|=2，
故M点在以点C（-1，2）为圆心，以2为半径的圆上，
∵P点坐标为：（x₀，y₀），
∵PM⊥CM，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，
∴（x₀+1）²+（y₀-2）²-4=x₀²+y₀²，整理得：2x₀-4y₀+1=0．
即动点P在直线2x-4y+1=0上，
所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
过点O作直线2x-4y+1=0的垂线，垂足为P，k_OP=-2
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-2x\\ 2x-4y+1=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{0}=-\frac{1}{10}\\{y}_{0}=\frac{1}{5}\end{array}\right.$，
所以点P坐标为（-$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{5}$）．

点评 本题考查用点斜式、斜截式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，点到直线的距离公式，判断P在直线2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，是解题的关键，属于中档题