Question

设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，0是坐标原点，且∠AOP=

π

6

，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是（m，

6

3

），求cos（α-

π

6

）的值；
（Ⅱ）若函数f（α）=

OP

•

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角函数的定义知，sinα=

6

3

，从而可得cosα=±

3

3

，利用两角差的余弦即可求得cos（α-

π

6

）的值；
（Ⅱ）利用向量的数量积的坐标运算可得f（α）=

OP

•

OQ

=sin（α+

π

3

），α∈[0，π），则α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（α）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得m=cosα=±

3

3

，sinα=

6

3

，…（2分）
所以 cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

±3+ 6

6

 …（4分）
（Ⅱ）f（α）=

OP

•

OQ

=（cos

π

6

，sin

π

6

）•（cosα，sinα）
=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin(α+

π

3

)．…（6分）
因为α∈[0，π），则α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，所以-

3

2

＜sin(α+

π

3

)≤1，
故f（α）的值域是(-

3

2

，1]．…（8分）

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查平面向量数量积的运算，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．