Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n，记b_n=log 

1

2

a_n
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设T_n=

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

，求证：T_n＜

5

18

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）n=1时，6a₁=1-2a₁，6（a₁+a₂）=1-2a₂，由此能求出a₁，a₂的值．
（Ⅱ）由6S_n=1-2a_n对于任意的正整数都成立，得数列{a_n}是等比数列，a1=

1

8

，公比q=

1

4

，从而能求出b_n=2n+1．
（Ⅲ）：T_n=

1

9

+

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，由此能证明T_n＜

5

18

．

解答： （Ⅰ）解：n=1时，6a₁=1-2a₁，得a₁=

1

8

，
又6（a₁+a₂）=1-2a₂，得a₂=

1

32

．
（Ⅱ）解：∵6S_n=1-2a_n对于任意的正整数都成立，
∴6S_n-1=1-2a_n-1，（n≥2），
两式相减，得6a_n=2a_n-1-2a_n，即an=

1

4

an-1，n≥2，
∴数列{a_n}是等比数列．
由（Ⅰ）得a1=

1

8

，公比q=

1

4

，
∴a_n=

1

8

×(

1

4

)n-1=（

1

2

）²ⁿ⁺¹，
∴b_n=2n+1．
（Ⅲ）证明：T_n=

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

=

1

32

+

1

52

+…+

1

(2+1)2

=

1

9

+

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

9

+

1

2

(

1

3

-

1

2n+1

)
=

5

18

-

1

2(2n+1)

＜

5

18

．
∴T_n＜

5

18

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．