Question

4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，M是CC₁的中点，则异面直线AB₁与A₁M所成角为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 连接AC₁，利用三角函数计算结合题中数据证出∠AC₁A₁=∠A₁MC₁，从而矩形AA₁C₁C中A₁M⊥AC₁．再利用线面垂直的判定与性质，证出A₁M⊥平面AB₁C₁，从而可得AB₁⊥A₁M，由此即可得到异面直线AB₁与A₁M所成的角．

解答 解：连接AC₁
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，
∴A₁C₁=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，
Rt△A₁C₁M中，tan∠A₁MC₁=$\sqrt{2}$；
Rt△AA₁C₁中，tan∠AC₁A₁=$\sqrt{2}$
∴tan∠MA₁C₁=tan∠AC₁A₁ 即∠AC₁A₁=∠A₁MC₁     
可得矩形AA₁C₁C中，A₁M⊥AC₁
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁且AC₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁，
∵A₁M?面AA₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁M，
又AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁M⊥平面AB₁C₁
结合AB₁?平面AB₁C₁，得到AB₁⊥A₁M，
即异面直线AB₁与A₁M所成的角是$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题在直三棱柱中求异面直线所成角的大小，着重考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化等知识，属于中档题．