Question

设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＞0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，0）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2），
即不等式等价为F（x+2014）-F（-2）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，
即x＜-2016，
故选：C．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．