Question

已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.
试题解析：（1）在中，
令得，即，令，得，即，      2分
由，∴椭圆：.                   4分
（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分
得：，∴.        6分
得：，∴，        7分
∴.      9分
．
设，，
令，得．
又，∴在单调递增，在单调递减.            11分
∴当时，，即的最大值为.         13分
法二：依题意射线的斜率存在，设，设      5分
得：，∴.              6分

=           9分
.
设，则.
当且仅当即.
法三：设点，，
                   6分
= .                          7分
又，
设与联立得： .      9分
令.           11分
又点在第一象限，∴当时，取最大值.     13分