题目内容

椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为,右焦点F与点 的距离为2。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率 的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足,若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由。
(1) (2) 存在;

试题分析:(1) 依题意,设椭圆方程为,然后解关于a、b、c的方程组即可.
(2) 由知点在线段的垂直平分线上,由消去 
转化为方程有两个不相等的实数根,再利用根与系数的关系,代入方程求出k即可.        
(1)依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为 ,由,得,即,解得。 又 ∵ ,∴,即椭圆方程为。      (4分)
(2)方法一:由知点在线段的垂直平分线上,由消去 (*)          ( 5分)
,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根。    (6分)
,线段MN的中点,则
 ,即 
,∴直线的斜率为,        (9分)
,得,∴,解得:,  (11分)
∴l的方程为。         ( 12分)
方法二:直线l恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, ∴不妨设M(0,-2), 则|AM|=4    (6分)
∴|AN|="4," 故N在以A为圆心, 4为半径的圆上,即在的图像上.
联立 化简得 ,解得           (8分)
当y=-2时,N和M重合,舍去.当y=0时,, 因此      (11分)
∴l的方程为。      ( 12分)
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