Question

9．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{k}{x}$（k∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求函数f（x）的最大值；
（2）若不等式x²f（x）+$\frac{1}{x+1}$≥0与k≥$\frac{1}{2}$x²+（e²-2）x-e^x-7在[1，+∞）上均恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求出k，即可求函数f（x）的最大值；
（2）若不等式x²f（x）+$\frac{1}{x+1}$≥0与k≥$\frac{1}{2}$x²+（e²-2）x-e^x-7在[1，+∞）上均恒成立，分别求出k的范围，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx+k}{{x}^{2}}$，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，
∴1+k=10，∴k=9，
∴f′（x）=$\frac{10-lnx}{{x}^{2}}$，
0＜x＜e¹⁰，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞e¹⁰，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=e¹⁰，函数f（x）的最大值为$\frac{1}{{e}^{10}}$；
（2）不等式x²f（x）+$\frac{1}{x+1}$≥0，可化为k≤lnx+$\frac{1}{x（x+1）}$，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x（x+1）}$，则在[1，+∞）上h′（x）=$\frac{{x}^{3}+2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$＞0，函数单调递增，
∴k≤h（1）=$\frac{1}{2}$；
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²+（e²-2）x-e^x-7，则在[1，2）上g′（x）=x+（e²-2）-e^x＞0，函数单调递减，
（2，+∞）上函数单调递增，∴k≥g（2）=e²-9，
综上所述，e²-9≤k≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度大．