Question

18．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x-2017）³f（x-2017）-27＞0的解集为（　　）

• A． （2014，+∞）
• B． （0，2014）
• C． （0，2020）
• D． （2020，+∞）

Answer 1

分析 利用函数的可导性，构造函数g（x）=x³f（x），利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可．

解答 解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），
所以3x²f（x）+x³f′（x）＞x²ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x³f（x）]′＞0，
所以函数g（x）=x³f（x）在（0，+∞）是增函数，
因为（x-2017）³f（x-2017）-27＞0，且f（3）=1，
所以（x-2017）³f（x-2017）＞3³f（3），即g（x-2017）＞g（3），
所以x-2017＞3，解得x＞2020．
则不等式（x-2017）³f（x-2017）-27＞0的解集为：（2020，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力．