Question

已知函数f（x）=log₂（x+1）+log₂

1

1-x

．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）-m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可判断f（x）是奇函数，先求定义域，再确定f（x）与f（-x）的关系；
（2）由题意，f（x）=log₂（-1+

2

1-x

），利用分离常数法求函数的值域，从而求最值．

解答： 解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：
由题意，

x+1＞0 1 1-x ＞0

，解得，x∈（-1，1），
则函数f（x）=log₂（x+1）+log₂

1

1-x

的定义域为（-1，1），
又∵f（-x）=log₂（1-x）+log₂

1

1+x

=-（log₂（x+1）+log₂

1

1-x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=log₂（x+1）+log₂

1

1-x

=log₂

1+x

1-x

=log₂（-1+

2

1-x

）
∵x∈[0，1），∴

2

1-x

≥2，
∴-1+

2

1-x

≥1，
∴m=f（x）=log₂（-1+

2

1-x

）≥0．
故实数m的最小值为0．

点评：本题考查了函数的奇偶性的证明与函数的值域的求法，属于基础题．