Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+$\sqrt{2}$与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由b=1，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$及a²=b²+c²，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，根据弦长公式及点到直线的距离公式，代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积．

解答 解：（1）短轴长2b=2，b=1，
$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（2分）
又a²=b²+c²，
所以$a=\sqrt{2}，c=1$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（2）设直线l的方程为$y=x+\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+\sqrt{2}\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$，消去y得，$3{x^2}+4\sqrt{2}x+2=0$，
由韦达定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{-4\sqrt{2}}}{3}\\{x_1}•{x_2}=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，
由弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}-4×\frac{2}{3}}$=$\frac{4}{3}$…（7分）
根据点到直线的距离公式：d=$\frac{丨-\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{2}{3}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，考查计算能力，属于中档题．