Question

10．已知实数a，b满足：5-a≤3b≤12-3a，e^b≤a，则$\frac{b}{a}$的取值范围为[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组表示的平面区域，则$\frac{b}{a}$表示与原点的连线的斜率额取值范围．

解答 解：∵e^b≤a，
∴b≤lna
∵5-a≤3b≤12-3a，
画出如图所示的可行域，
由$\left\{\begin{array}{l}{3b=5-a}\\{3b=12-3a}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{7}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
即A（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{7}$
设b=lna，
∴b′=$\frac{1}{a}$，
当b=1时，此时斜线的斜率最大，即为$\frac{b}{a}$=k=$\frac{1}{e}$，
综上所述，$\frac{b}{a}$的取值范围为$[{\frac{1}{7}，\frac{1}{e}}]$，
故答案为：[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{e}$]．

点评 本题主要考查了线性规划的简单应用，当满足取得最值的最优解的个数唯一时，一般需要确定目标函数中的 直线斜率与边界斜率的比较．