Question

1．2016年里约奥运会和残奥会吉祥物的名字于2015年12月14日揭晓，两个吉祥物分别叫维尼修斯（Vinicius）和汤姆（Tom）（如图），以此纪念巴萨诺瓦曲风的著名音乐家Vinicius de Moraes和Tom Jobim．某商场抽奖箱中放置了除图案外，其他无差别的8张卡片，其中有2张印有“维尼修斯（Vinicius）“图案，n（2≤n≤4）张印有“汤姆（Tom）”图案，其余卡片上印有”2016年里约奥运会“的图案．
（1）若n=4，从抽奖箱中任意取一卡片，记下图案后放回，连续抽取三次，求三次取出的卡片中，恰有两张印有“2016年里约奥运会”图案卡片的概率；
（2）从抽奖箱中任意抽取两张卡片，如果两张卡片图案相同的概率是$\frac{2}{7}$．求n的值；
（3）①当n=3时，随机抽取一次，若规定取出印有“维尼修斯（Vinicius）”图案的卡片获得16元购物券，取出印有“汤姆（Tom）”图案的卡片获得8元购物券，取出印有“2016年里约奥运会”的图案的卡片没有奖励，用ξ表示获得奖券的面值，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
②在①的条件下，若商场每天有800人参与抽奖活动，顾客获得的购物券全部用于捆绑其他商品消费，每1元购物券能给商场带来10元纯利润，则商场每天在这个活动中能获得的纯利润是多少？

Answer 1

分析 （1）当n=4时，印有“2016年里约奥运会”的卡片有2张，记“从中任取一张卡片是‘2016年里约奥运会’”为事件A，则P（A）=$\frac{1}{4}$，由此能求出恰有两张印有“2016年里约奥运会”图案卡片的概（2）由题意得$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{4-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，由此能求出结果．
（3）①n=3时，则8张卡片中印有“维尼修斯（Vinicius）“图案的卡片有2张，印有“汤姆（Tom）”图案的卡片有3张，印有”2016年里约奥运会“的图案的卡片有3张，ξ的可能取值为16，8，0，分别求出相应的概率，由此能求ξ的分布列和E（ξ）．
②在一次抽奖中，一人所得奖券的面值为7元，从而能求出800人所得奖券的面值总数，由此能求出商场的利润．

解答 解：（1）当n=4时，印有“2016年里约奥运会”的卡片有2张，
记“从中任取一张卡片是‘2016年里约奥运会’”为事件A，则P（A）=$\frac{1}{4}$，
则恰有两张印有“2016年里约奥运会”图案卡片的概率：
p=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$．
（2）∵从抽奖箱中任意抽取两张卡片，如果两张卡片图案相同的概率是$\frac{2}{7}$，
∴由题意得$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{4-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
解得n=2或n=4．
（3）①n=3时，则8张卡片中印有“维尼修斯（Vinicius）“图案的卡片有2张，
印有“汤姆（Tom）”图案的卡片有3张，印有”2016年里约奥运会“的图案的卡片有3张，
ξ的可能取值为16，8，0，
P（ξ=16）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=8）=$\frac{3}{8}$，P（ξ=0）=$\frac{3}{8}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	16	8	0
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

∴E（ξ）=$16×\frac{1}{4}+8×\frac{3}{8}+0×\frac{3}{8}$=7（元）．
②由①知同，在一次抽奖中，一人所得奖券的面值为7元，
800人所得奖券的面值总数为：800×7=5600元，
∴商场的利润应是5100×10=56000元．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．