Question

已知椭圆的中心在原点，右焦点为F（3，0）过焦点F的直线l交P，Q两点线段PQ的中点为M（2，1）．求：
（1）直线l的方程；
（2）椭圆的标准方程；
（3）线段PQ的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线l过F（3，0）点，可设直线l的方程为：y=k（x-3），又由直线l也经过M（2，1），代和求出k值，可得直线方程；
（2）设椭圆方程为

x2

n+9

+

y2

n

=1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用点差法及线段PQ中点M（2，1），可得n=9，即可得到椭圆的方程；
（3）联立直线与椭圆方程，求出PQ两点的坐标，代入两点之间距离公式，可得线段PQ的长度．

解答： 解：（1）∵直线l过F（3，0）点，
设直线l的方程为：y=k（x-3），
又∵直线l也经过M（2，1）．
解得：k=-1，
∴直线l的方程为：y=-（x-3），即x+y-3=0，
（2）∵椭圆的右焦点为F（3，0），
设椭圆的标准方程为：

x2

n+9

+

y2

n

=1，
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

x12

n+9

+

y22

n

=1，…①

x22

n+9

+

y22

n

=1，…②
①-②得：

(x1+x2)(x1-x2)

n+9

+

(y1+y2)(y1-y2)

n

=0
∵P，Q两点线段PQ的中点为M（2，1）．
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

4n

2(n+9)

=-1，
解得：n=9，n+9=18，
∴椭圆的标准方程为

x2

18

+

y2

9

=1，
（3）由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

得：x²-4x=0，
解得：x=0，或x=4，
故P，Q两点的坐标为：（0，3），（4，-1），
故线段PQ的长度为

42+(-1-3)2

=4

2

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的方程，考查两点之间距离公式，是直线与椭圆的综合应用，难度中档．