Question

已知函数f（x）=2x+2ln（2x+1）．
（Ⅰ）指出函数的单位调区间，说明理由；
（Ⅱ）比较f（x）与6x²+6x的大小；
（Ⅲ）证明x∈（1，3）时，（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，根据导数与0的关系，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-（6x²+6x），利用导数求出函数g（x）_max=0，问题得以证明．
（Ⅲ）构造函数h（x）=f（

x -1

2

）-

6x-6

x+3

，求出导数，再利用放缩法得到h′（x）≤

x+5

4x

-

24

(x+3)2

，再构造函数p（x）=（x+5）（x+3）²-96x，
利用导数求出函数的最大值为0，继而求出函数h（x）为减函数，问题得以证明

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x+2ln（2x+1）
∴函数的定义域（-

1

2

，+∞），
∴f′（x）=2+

4

2x+1

＞0恒成立，
故函数在（-

1

2

，+∞）为增函数；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（6x²+6x）
∴g′（x）=f′（x）-（12x+6）=-4•

6x2+5x

2x+1

令g′（x）=0，解得x=0，
当g′（x）＞0，解得-

1

2

＜x＜0，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0，解得x＞0，函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，函数有最大值，即g（x）≤g（0）=0，
∴f（x）≤6x²+6x；
（Ⅲ）f（

x -1

2

）=2×

x -1

2

+2ln（2×

x -1

2

+1）=

x

-1+2ln

x

=

x

-1+lnx
令h（x）=f（

x -1

2

）-

6x-6

x+3

=lnx+

x

-1-

6x-6

x+3

，
∴h′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

24

(x+3)2

∵x∈（1，3），
∴

1

x

+

1

2 x

=

x +2

2x

=

2 x +4

4x

=

(x+5)-( x -1)2

4x

≤

x+5

4x

∴h′（x）≤

x+5

4x

-

24

(x+3)2

=

(x+5)(x+3)2-96x

4x(x+3)2

，
再令p（x）=（x+5）（x+3）²-96x=x³+11x²-57x+45，
∴p′（x）=3x²+22x-57，
∵p′（1）=-32＜0，p′（3）=36＞0，
∴存在x₀∈（1，3）时，使得p′（x₀）=0，
∴x∈（1，x₀），p′（x₀）＜0，
x∈（x₀，3），p′（x₀）＞0，
∴函数p（x）在（1，x₀）递减，在（x₀，3）上递增，
∵p（1）=96-96=0，P（3）=288-299=0，
∴x∈（1，3）时，恒有p（x）≤p（x）_max=0，
∴h′（x）＜0，在（1，3）上恒成立，
∴函数h（x）在（1，3）上递减，
∴x∈（1，3）时．h（x）＜h（1）=0，
即（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6．

点评：本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，以及利用导数来证明不等式成立的问题，需要多次构造函数，多次求导，培养了学生的转化能力，运算能力，属于难题