Question

 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切。

（I）求椭圆的方程；

（II）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（Ⅲ）在（II）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围.

Answer 1

解：（I） 

（II）由题意可知存在且不为0.

    消得，

令则，

所以

令，由韦达定理化简得，

所以直线与轴相交于定点.   

(Ⅲ) 当为椭圆长轴的两个顶点时， 

消得:

令.

则      

所以