Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S_n=a_m，则称{a_n}是“H数列”．
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N^*），证明：{a_n}是“H数列”；
（2）设{a_n}是等差数列，其首项a₁=1，公差d＜0．若{a_n}是“H数列”，求d的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，由此能证明数列{a_n}是“H数列”．
（2）依题意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+

n(n-1)d

2

，若{a_n}是“H数列”，则1+（k-1）d=n+

n(n-1)d

2

，由此能求出d的值．

解答： （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=2，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（3分）
所以an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，（4分）
所以对任意的n∈N^*，Sn=2n是数列{a_n}中的第n+1项，（5分）
因此数列{a_n}是“H数列”．
（2）解：依题意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+

n(n-1)d

2

，（7分）
若{a_n}是“H数列”，则对任意的n∈N^*，都存在k∈N^*使得a_k=S_n，
即1+（k-1）d=n+

n(n-1)d

2

，（9分）
所以k=

n-1

d

+

n(n-1)

2

，（10分）
又因为k∈N^*，

n(n-1)

2

∈N，
所以对任意的n∈N^*，

n-1

d

∈Z，且d＜0，（12分）
所以d=-1．（13分）

点评：本题考查数列{a_n}是“H数列”的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的合理运用．