Question

14．已知函数$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}）{x^3}$（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用a^x-1≠0即可求得函数f（x）的定义域；
（2）由$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}）{x^3}$可推知f（-x）=f（x），从而可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用（1）知f（x）为偶函数，可知当x∈（0，+∞）时，x³＞0，从而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立，只需当a＞1时即可．

解答 解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）$f（-x）=（\frac{1}{{{a^{-x}}-1}}+\frac{1}{2}）{（-x）^3}$=$-（\frac{a^x}{{1-{a^x}}}+\frac{1}{2}）{x^3}$=$-\frac{{（{a^x}+1）{x^3}}}{{2（1-{a^x}）}}=\frac{{（{a^x}+1）{x^3}}}{{2（{a^x}-1）}}=f（x）$，
∴f（x）是偶函数．
（3）∵函数f（x）在定义域上是偶函数，
∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，
∵当x∈（0，+∞）时，x³＞0，
∴只需$\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{{（{a^x}）}^2}-1}}+\frac{1}{2}＞0$，即$\frac{{{a^{2x}}+{a^x}+1}}{{{{（{a^x}）}^2}-1}}＞0$，
∵a^2x+a^x+1＞0，
∴（a^x）²-1＞0，解得a＞1，
∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查函数奇偶性的运用，突出转化思想与分析法的应用，属于难题．