Question

6．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁，x₂，总有不等式$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≤f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$成立，则称函数f（x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{a_n}满足如下两个条件：
①数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
②对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中${b_n}={n^2}-6n+10$，则数列{a_n}中的第三项a₃的取值范围为[7，19]．

Answer 1

分析 根据数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28，求出a₃≥7…①．根据正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，求出19≤a₃≤19…②．问题得以解决

解答 解：∵$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$，
∴a_n+a_n+2≤2a_n+1，
∴a_n+a_n+2≤2a_n+1，
∴a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n，
∴$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{（n+2）-（n+1）}$≤$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{（n+1）-n}$，
∴$\frac{{a}_{10}-{a}_{1}}{10-1}$≤$\frac{{a}_{3}-{a}_{1}}{3-1}$
把a₁=1，a₁₀=28代入，得a₃≥7…①．
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=3，得b₃=9-18+10=1，
∴-20≤a₃-b₃≤20，
∴-19≤a₃≤19…②．
①②联立得7≤a₃≤19．
故答案为：[7，19]．

点评 本题新定义的学习和应用，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题