Question

5．绝对值|x-1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|x-a|+|x-b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．
（1）直接写出|x-1|+|x-2|与|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；
（2）设a₁≤a₂≤…≤a_n是给定的n个实数，记S=|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|．试猜想：若n为奇数，则当x∈{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]时，S取到最小值；（直接写出结果即可）
（3）求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义，可得当且仅当x∈[1，2]时，|x-1|+|x-2|取最小值1；当且仅当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|取最小值2；
（2）归纳可得：若n为奇数，则当x∈{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]时，S取到最小值；
（3）根据（2）中结论，可得x=$\frac{1}{7}$时，|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|取最小值．

解答 解：（1）|x-1|+|x-2|的最小值为1，当且仅当x∈[1，2]时，取最小值；
|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2，当且仅当x=2时，取最小值；
（2）设a₁≤a₂≤…≤a_n是给定的n个实数，记S=|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|．
归纳可得：
若n为奇数，则当x∈{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}时S取到最小值；
若n为偶数，则当x∈[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]时，S取到最小值；
（3）|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|=|x-1|+2|x-$\frac{1}{2}$|+3|x-$\frac{1}{3}$|+…+10|x-$\frac{1}{10}$|，
共55项，其中第28项为|x-$\frac{1}{7}$|，
故x=$\frac{1}{7}$时，|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|取最小值：$\frac{6}{7}$+$\frac{5}{7}$+$\frac{4}{7}$+$\frac{3}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{1}{7}$+0+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{3}{7}$=$\frac{27}{7}$，
故答案为：{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}，[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．