Question

16．f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当$t=4，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$时，F（x）=g（x）-f（x）的最小值是-2，求a的值；
（2）当$0＜a＜1，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将t=4代入函数解析式，对F（x）化简，得$f（x）={log_a}4（x+\frac{1}{x}+2）$，利用对勾函数在相应区间上的单调性求得其最值，需要对a进行讨论；
（2）将不等式转化，利用单调性，将不等式转化为x≤（2x+t-2）²，$\sqrt{x}-2x+2≤t$，转化为最值来处理即可求得结果．

解答 解：（1）∵当t=4，$x∈[\frac{1}{4}，2]$时，
F（x）=g（x）-f（x）=$2{log_a}（2x+2）-{log_a}x={log_a}\frac{{4{{（x+1）}^2}}}{x}$=${log_a}4（x+\frac{1}{x}+2）$，
又h（x）=$4（x+\frac{1}{x}+2）$在$[\frac{1}{4}，1]$上为减函数，在[1，2]上为增函数，且$h（{\frac{1}{4}}）＞h（2）$，
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=16，h{（x）_{max}}=h（{\frac{1}{4}}）=25$
∴当a＞1时，F（x）_min=log_a16，由log_a16=-2，解得$a=\frac{1}{4}$（舍去）；
当0＜a＜1时，F（x）_min=log_a25，由log_a25=-2解得$a=\frac{1}{5}$，
所以$a=\frac{1}{5}$
（2）f（x）≥g（x），即log_ax≥2log_a（2x+t-2），
∴log_ax≥log_a（2x+t-2）²，
∵$0＜a＜1，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$，
∴x≤（2x+t-2）²，
∴$\sqrt{x}≤2x+t-2$，
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$，
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$，依题意有${（\sqrt{x}-2x+2）_{max}}≤t$
而函数$y=\sqrt{x}-2x+2=-2{（\sqrt{x}-\frac{1}{4}）^2}+\frac{17}{8}$
因为$x∈[{\frac{1}{4}，2}]，\sqrt{x}∈[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$，y_max=2，
所以t≥2．

点评 本题考查的知识点是分类讨论的思想，恒成立问题的转化．熟练掌握对数函数，对勾函数的图象和性质，是解答的关键．