Question

10．已知下列命题：①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为钝角；②a，b∈C，则“ab∈R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为$\frac{1}{9}$；④若n为正奇数，则6ⁿ+${C}_{n}^{1}{6}^{n-1}$+${C}_{n}^{2}{6}^{n-2}$+…+${C}_{n}^{n-1}6-1$被8除的余数是5，其中正确的序号是②④．

Answer 1

分析 ①由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，可知$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为钝角或180°判断；
②举例说明不充分，由$z•\overline{z}=|z{|}^{2}$说明必要；
③是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，根据古典概型概率公式得到点数和为4的概率判断；
④由二项式定理，可以将6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1变形为C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2，又由n为正奇数，则可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，分析可得命题正确．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为钝角或180°．故①错误；
②a，b∈C，取a=1，b=2，满足ab∈R，a，b不互为共轭复数，反之，若a，b互为共轭复数，则ab=|a|²∈R，
则“ab∈R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件．故②正确；
③试验发生包含的基本事件共6×6=36个，满足条件的事件是点数和为4，列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，
∴一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为$\frac{1}{12}$．故③错误；
④6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-2
=（6+1）ⁿ-2=7ⁿ-2=（8-1）ⁿ-2
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2，
又由n为正奇数，则6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
∴6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1被8除所得的余数是5．故④正确．
∴正确命题的序号是②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了平面向量的数量积运算，考查共轭复数的概念，训练了古典概型概率的求法，训练了利用二项式定理判断整除问题，是中档题．