Question

函数f（x）=

1

3

x³-x²-3x+1，
（1）求f（x）的单调区间和极值，
（2）讨论方程f（x）=a的实根个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）令f′（x）=0，解出x，在函数的定义域内列表判断，即可求出函数的单调区间；根据极值的定义进行判定极值即可；
（2）根据f（x）的极大值为

8

3

，f（x）的极小值为-8，即可讨论方程f（x）=a的实根个数．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=0，可得x=-1或3
列表如下

x	（-∞，-1），	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	↗	极大值 8 3	↘	极小值-8	↗

f（x）的增区间为 （-∞，-1），（3，+∞），f（x）的减区间为（-1，3）
f（x）的极大值为

8

3

，f（x）的极小值为-8；
（2）∵f（x）的极大值为

8

3

，f（x）的极小值为-8
①a＜-8或a＞

8

3

时，有一个交点，方程有一个实根；
②a﹦-8或a=

8

3

时，有两个交点，方程有两个实根；
③-8＜a＜

8

3

时，有三个交点，方程有三个实根．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．