Question

已知：函数f（x）=

a

2x+1

+b是定义在R上的奇函数，并且经过点（1，-

1

6

）；
（1）求a、b的值；
（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数过点（0，0）代入可求得b的值，再根据函数图象过点（-1，-

1

6

），列出方程组求出a、b的值；
（2）判断出函数在区间上的单调性，再利用定义法能证明函数f（x）在[1，4]上单调递减，由单调性求出函数的最值，即求出函数的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

2x+1

+b是定义在R上的奇函数，且过点（1，-

1

6

）
∴

f(0)=0 f(1)=- 1 6

，即

a 20+1 +b=0 a 21+1 +b=- 1 6

，
解得a=1、b=-

1

2

；
（2）由（1）得，f(x)=

1

2x+1

-

1

2

，则函数f（x）在[1，4]上是减函数，
证明如下：在区间[1，4]内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

1

2x1+1

-

1

2

-（

1

2x2+1

-

1

2

）
=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在[1，4]上单调递减，
则当x=1时，函数f（x）取最大值为：-

1

6

，
当x=4时，函数f（x）取最小值为：-

15

34

，
故函数f（x）在区间[1，4]上的值域为：[-

15

34

，-

1

6

]

点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数的单调性的判断与证明，以及待定系数法求函数的解析式，函数的值域转化为由函数的单调性求出函数的最值问题．