Question

12．已知命题p：实数x满足|ax+2|≥1，其中a＞0，命题q：实数x满足log₃（x²-2x-2）≥0
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围
（Ⅱ）若q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出关于p，q的不等式，根据p真q真，求出x的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为￢p⇒q，q推不出￢p，求出a的范围即可．

解答 解：由|ax+2|≥1，其中a＞0，
解得：x≥-$\frac{1}{a}$或x≤-$\frac{3}{a}$，
由log₃（x²-2x-2）≥0，
解得：x≥3或x≤-1；
（Ⅰ）a=1时，命题p：x≥-1或x≤-3，
由p∧q为真，得p真q真，
故x≥3或x≤-3，
即x∈（-∞，-3]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）若q是￢p的必要不充分条件，
则￢p能推出q，q推不出￢p，
故（-3，-1）?（-∞，-$\frac{3}{a}$]∪[-$\frac{1}{a}$，+∞），
故-1≤-$\frac{3}{a}$或-3≥-$\frac{1}{a}$，
解得：a≥3或a≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及复合命题的判断，是一道中档题．