Question

若不等式3x²-log_ax＜0对任意x∈(0，

1

3

)恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[

  1

  27

  ，1)
• B、(

  1

  27

  ，1)
• C、(0，

  1

  27

  )
• D、(0，

  1

  27

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：构造函数f（x）=3x²，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜

1

3

），根据不等式3x²-log_ax＜0对任意x∈(0，

1

3

)恒成立，可得f（

1

3

）≤g（

1

3

），从而可得0＜a＜1且a≥

1

27

，即可求出实数a的取值范围．

解答：解：构造函数f（x）=3x²，g（x）=-log_ax，（0＜x＜

1

3

）
∵不等式3x²-log_ax＜0对任意x∈(0，

1

3

)恒成立，
∴f（

1

3

）≤g（

1

3

）
∴3•

1

9

-log_a

1

3

≤0．
∴0＜a＜1且a≥

1

27

，
∴实数a的取值范围为[

1

27

，1）．
故选：A．

点评：本题是恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围．