Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=e^x．若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，则实数a的最大值是（　　）

• A、-

  3

  2

• B、-

  2

  3

• C、-

  3

  4

• D、2

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立等价为f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，
∵当x≥0时，f（x）=e^x．
∴不等式等价为e^|x+a|≥（e^|x|）²=e^2|x|恒成立，
即|x+a|≥2|x|在[a，a+1]上恒成立，
平方得x²+2ax+a²≥4x²，
即3x²-2ax-a²≤0在[a，a+1]上恒成立，
设g（x）=3x²-2ax-a²，
则满足

g(a)≤0 g(a+1)≤0

，
∴

g(a)=3a2-2a2-a2≤0 g(a+1)=3(a+1)2-2a(a+1)-a2≤0

，
即

0≤0 4a+3≤0

，
∴a≤-

3

4

，
故实数a的最大值是-

3

4

．
故选：C．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．