Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面平面，.

（1）证明：；

（2）若是正三角形，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC⊥平面A1B1C，进而得到AC⊥；（2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.

解析:

（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，

由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，

得B1O⊥平面AA1C1C，

又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．

由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．

又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．

又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．

（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．

由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．

所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，0)，＝＝(0，－1，)．

设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则

即

可取n＝(2，，1)．

设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则

即

可取m＝(0，，1)．

则cosn，m＝＝．

又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，

所以二面角A1-AB-C的大小为．