Question

【题目】如图， 平面， 平面， 是等边三角形， ，

是的中点.

（1）求证： ；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：⑴证明， ，推出平面，然后证明

；

⑵以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，说明为直线与平面所成角，设，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可；

解析：（1）因为是等边三角形， 是的中点，所.

因为平面， 平面，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以.

（2）法1：以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.

因为平面，所以为直线与平面所成角.

得，即，从而.

不妨设，又，则， .故， ，

， .于是，

， ， ，设平面与平面的法向量分别为

， ，由得令，得，

所以.由得令得

， .所以.

所以.

所以二面角的余弦值为.

法2：因为平面，所以为直线与平面所成角.

由题意得，即，从而.

不妨设，又， ， ， .

由于平面， 平面，则.

取的中点，连接，则.

在中， ，

在中， ，

在中， ，

取的中点，连接， ， ，

则， . 所以为二面角的平面角.

在中， ，在中， ，

在中， ，因为，

所以.所以二面角的余弦值