Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，为上一点，交于点.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接，要证平面，转证即可；

（2）取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为利用公式即可得到二面角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：如图5，连接交于点，连接，

∵平面 平面且为矩形，

∴平面，

∴．

则在直角三角形中，．

又∵为的中点，

∴．

又∵，则为的中点，

在三角形中，，

∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）解：取的中点为坐标原点，建立如图6所示的空间直角坐标系．

取的中点，连接，

在中，，分别为，的中点，，

在中，为的中点，则为的中点, 故．

，

，

设，，

则，．

设平面的法向量为

，

解得

平面的法向量为

设二面角的平面角为

，因为为锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为．