Question

【题目】已知椭圆：（）的左右焦点分别为，且关于直线的对称点在直线上.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过焦点垂直轴的直线被椭圆截得的弦长为，斜率为的直线交椭圆于，两点，问是否存在定点，使得，的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）满足条件的定点是存在的，坐标为及

【解析】试题分析：（1）先求关于直线的对称点坐标，再代入得，即得离心率，（2）先根据过焦点垂直轴的直线被椭圆截得的弦长为，求椭圆方程，再用坐标表示，的斜率之和，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简，最后根据等式恒成立条件解出点坐标.

试题解析：（1）依题知，设，则且，解得，即

∵在直线上，∴，，∴

（2）由（1）及题设得：且，∴，，∴椭圆方程为

设直线方程为，代入椭圆方程消去整理得.依题，即

设，，则，

如果存在使得为定值，那么的取值将与无关

，令

则为关于的恒等式

∴，解得或

综上可知，满足条件的定点是存在的，坐标为及