Question

4．已知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，两个焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆C上一点，△F₁PF₂的周长为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C交点M，N，若|$\overrightarrow{MN}$|=$\frac{48}{7}$，求△MNF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意设椭圆方程，由2a+2c=12及e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a和c的值，由b²=a²-c²=12，即可求得椭圆方程；
（2）由题意设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得y₁+y₂=$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，根据|$\overrightarrow{MN}$|=2a+e（x₁+x₂），代入即求得m的值，求得直线方程，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求得△MNF₂的面积．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由题意可知：2a+2c=12，即a+c=6，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得：a=4，c=2，
由b²=a²-c²=12，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）设MN的方程为my=x+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{my=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²-12my-36=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
|$\overrightarrow{MN}$|=2a+e（x₁+x₂）=2×4+$\frac{1}{2}$[m（y₁+y₂）-4]=$\frac{48}{7}$，整理得：m²=1，
直线方程：x±y+2=0，
则F₂点到直线x±y+2=0的距离d=$\frac{丨2+2丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
△MNF₂的面积S=$\frac{1}{2}$•d•|$\overrightarrow{MN}$|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•$\frac{48}{7}$=$\frac{48}{7}$$\sqrt{2}$．
△MNF₂的面积为：$\frac{48}{7}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，韦达定理及点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．