Question

14．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右顶点为A，离心率为e，且椭圆E过点$B（2e，\frac{b}{2}）$，以AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设过点C（-1，0）的直线l交曲线E于F，H两点，且直线OH交椭圆E于另一点G，问△FHG面积是否存在最大值？若有，请求出；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：x_D=c=2e，e=$\frac{c}{a}$，解得：a=2，将点B$（c，\frac{b}{2}）$，代入椭圆方程，即可求得b和c的值，求得椭圆方程；
（2）由题意可知：S_△FHG=丨y₁-y₂丨，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知求得y₁+y₂，y₁•y₂，根据弦长公式求得丨y₁-y₂丨根据基本不等式及函数的单调性即可求得△FHG面积最大值．

解答 解：（1）设椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右焦点为D，连接BD，则BD⊥AD，
∴x_D=c=2e，
由e=$\frac{c}{a}$，解得a=2，
故点B的坐标为$（c，\frac{b}{2}）$，将其代入椭圆方程，整理得$\frac{c^2}{2^2}+\frac{{{{（\frac{b}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，
解得：$c=\sqrt{3}，b=1$．
故椭圆E方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）设F，H两点的纵坐标分别为y₁，y₂，由点O为线段HG的中点得：S_△FHG=2S_△OFH=2×$\frac{1}{2}$×丨OC丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨，
当直线l的斜率为0时，则点F与G重合（矛盾），
于是，设直线 l的方程：x=my-1，m∈R
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$消元：（m²+4）y²-2my-3=0
∴由韦达定理可知：$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{{m^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$，
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{4\sqrt{{m^2}+3}}}{{{m^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{{m^2}+3}}}{{{m^2}+3+1}}=\frac{4}{{\sqrt{{m^2}+3}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+3}}}}}$
令t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$∈[$\sqrt{3}$，+∞），函数U（t）=$\frac{1}{t}$+t为增函数，
${U_{min}}（t）=U（\sqrt{3}）=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
${|{{y_1}-{y_2}}|_{max}}=\sqrt{3}，{S_{△FGH}}_{max}=\sqrt{3}$（ 此时m=0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及三角形面积公式的综合运用，考查基本不等式的性质及函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．