Question

16．已知F₁，F₂分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=5：12：13，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{41}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|AF₁|=t，|AB|=5x，结合|AB|：|BF₂|：|AF₂|=5：12：13，得到△ABF₂为直角三角形，结合勾股定理建立方程关系进行求解即可．

解答 解：设|AF₁|=t，|AB|=5x，则|BF₂|=12x，|AF₂|=13x，
根据双曲线的定义，得|AF₂|-|AF₁|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
即13x-t=（5x+t）-12x=2a，解得t=10x，x=$\frac{2}{3}$a，
即|AF₁|=$\frac{20}{3}$a，|AF₂|=$\frac{26}{3}$a，
∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=5：12：13，∴得△ABF₂是以B为直角的Rt△，
则|BF₁|=t+5x=10x+5x=15x=15×$\frac{2}{3}$a=10a，
|BF₂|=12x=12×$\frac{2}{3}$a=8a，
则|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²，
即100a²+64a²=4c²，
即164a²=4c²，
则41a²=c²，
即c=$\sqrt{41}$a，
因此，该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{41}$．
故选：B．

点评 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．