Question

已知函数f（x）=e^x-kx²（e为自然对数的底数），x∈R．
（1）若k=

1

2

，求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞1；
（2）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，试求k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把k=

1

2

代入函数f（x），利用导数判断函数的单调性，进而求函数的最小值；
（2）分离变量，构造函数进行求解．

解答： 解：（1）k=

1

2

时，
f（x）=e^x-

1

2

x²，
f′（x）=e^x-x，
f″（x）=e^x-1，
当x＞0时，f″（x）＞0，
∴f′（x）=e^x-x在x∈（0，+∞）上是增函数，
f′（0）=1＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=e⁰-0=1．
（2）∵函数f（x）=e^x-kx²在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=e^x-2kx＞0（x＞0），
∴k＜

ex

2x

，
令g（x）=

ex

2x

，
∴g′（x）=

ex(x-1)

2x2

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（1）=

e

2

，
∴k＜

e

2

．

点评：本题主要考查单调性的性质，利用导数求函数的单调性进而求函数的极值和最值．