Question

已知△ABC中，cos2

A

2

=

b+c

2c

(a，b，c分别是角A，B，C的对边）给出下列结论：
①

tanA

tanB

=1
②1＜sinA+sinB+sinAsinB≤

1

2

+

2

；
③sin²A+cos²B=1；
④cos²A+cos²B=sin²C；
⑤tanA+tanB≥2．
其中正确的结论是

②④⑤

（填写所有正确的结论编号）

Answer 1

分析：利用降次升角公式，边角互化及勾股定理可得∠C=90°，进而逐一分析五个结论的真假，可得答案．

解答：解：∵cos2

A

2

=

b+c

2c

∴

1+cosA

2

=

b+c

2c

∴1+cosA=

b

c

+1
∴cosA=

b

c

∴

b2+c2-a2

2bc

=

b

c

∴a²+b²=c²，
故∠C=90°
∴当A-B≠kπ，k∈Z时，等式

tanA

tanB

=1不成立，故①错误；
sinA+sinB+sinAsinB=sinA+cosA+sinAcosA=sinA+cosA+

(sinA+cosA)2-1

2

令t=sinA+cosA，（0＜A＜90°），则1＜t≤

2

令y=sinA+cosA+

(sinA+cosA)2-1

2

=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1，则y∈（1，

2

]
故②1＜sinA+sinB+sinAsinB≤

1

2

+

2

正确；
sin²B≠cos²A时，等式sin²A+cos²B=sin²A+sin²B=1不成立，故③错误；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²B=1=sin²C，故④正确；
tanA+tanB=tanA+

1

tanA

≥2，故⑤正确．
故正确的结论有：②④⑤
故答案为：②④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的化简求值，其中熟练掌握正弦定理的推论“边角互化”是解答的关键．