题目内容

已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，这是平面几何中的一个命题，运用类比猜想，对于空间四面体ABCD中，若O四面体ABCD内任意点存在什么类似的命题
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
．
分析：由条件利用平面图形的线段的性质类比立体图形中的体积的性质，可得结论．
解答：解：O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，

利用类比推理，猜想，对于空间四面体ABCD中，若O四面体ABCD内任意点O，

应有
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1，

故答案为
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1．
点评：本题主要考查类比推理，用平面中图形的线段的性质类比立体图形中的体积的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的
重心
重心
．
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的______．
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式=[（1-λ）+（1-λ）+（1+2λ）]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的    ．
已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心

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