Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

m

=（2a-c，b）与向量

n

=（cosB，-cosC）互相垂直．
（1）求角B的大小；
（2）求函数y=2sin²C+cos（B-2C）的值域；
（3）若AB边上的中线CO=2，动点P满足

AP

=sin2θ•

AO

+cos2θ•

AC

(θ∈R)，求(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据垂直的两个向量数量积为零，列出关系式并结合三角恒等变换化简，得sinA（2cosB-1）=0，而sinA＞0，可得2cosB-1=0，即可解出角B的大小；
（2）将B=

π

3

代入函数关系式，利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简得y=1+sin(2C-

π

6

)，根据C的范围利用三角函数的图象加以计算，可得所求函数值域；
（3）由向量的线性运算法则和sin²θ+cos²θ=1，化简得

OP

=cos2θ•

OC

，所以点P是线段OC上的点，由此得到(

PA

+

PB

)•

PC

表示为以|

PO

|为自变量的二次函数式，利用二次函数的性质加以计算，可得所求最小值．

解答：解：（1）由题意，可得

m

•

n

=（2a-c）cosB-bcosC=0
根据正弦定理，得2sinAcosB-sinCcosB-sinBcosC=0，
即2sinAcosB-sinCcosB-sinBcosC=0，2sinAcosB-sin（B+C）=0
可得2sinAcosB-sinA=sinA（2cosB-1）=0
结合0＜A＜π，可得sinA＞0，
∴2cosB-1=0，得cosB=

1

2

，解之得B=

π

3

．
（2）∵B=

π

3

，
∴y=2sin2C+cos(B-2C)=2sin2C+cos(

π

3

-2C)
=1-cos2C+

1

2

cos2C+

3

2

sin2C=1-

1

2

cos2C+

3

2

sin2C=1+sin(2C-

π

6

)
∵0＜C＜

2π

3

，得-

π

6

＜2C-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2C-

π

6

)≤1，
由此可得：函数数y=2sin²C+cos（B-2C）值域为(

1

2

，2]．
（3）∵

AP

=sin2θ•

AO

+cos2θ•

AC

(θ∈R)，且sin²θ+cos²θ=1
∴

AP

-

AO

=(sin2θ-1)•

AO

+cos2θ•

AC

=cos2θ•(

AC

-

AO

)
可得

OP

=cos2θ•

OC

，
又∵cos²θ∈[0，1]，∴P在线段OC上
因此，(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

，设|

PO

|=t，t∈[0，2]，
可得(

PA

+

PB

)•

PC

=-2t（2-t）=2t²-4t=2（t-1）²-2
∴当t=1时，(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值等于-2．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标形式，求角的大小并依此研究三角函数的值域．着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．